В 1935 году окончил Северо-Кавказский зооинститут, получив специальность зоотехник. Член партии с 1940 года.
В Красную Армию призван 19 ноября 1941 года.
Участник Великой Отечественной войны.
Начальник отдела хранения полевого фронтового инженерного склада №1215 (с 8 июля 1942 года), старший лейтенант интендантской службы. Воевал на Волховском и Ленинградском фронтах. Военную службу окончил 21 декабря 1946 года.
С 1947 по 1953 гг. – директор Калужского зооветтехникума. На его плечи легло послевоенное восстановление и развитие учебного заведения, которое значительно пострадало во время немецко-фашистской оккупации.
Затем работал в Калужском обкоме КПСС заместителем заведующего сельскохозяйственным отделом. В 1962 году – первый секретарь Калужского райкома КПСС. В 1963 году – председатель сельского областного Совета профсоюзов, затем секретарь областного Совета профсоюзов. С 1967 года заместитель начальника областного управления сельского хозяйства.
Б.А. Обабко был инициативным, требовательным работником, хорошо знал сельское хозяйство, экономику колхозов и совхозов, много усилий прилагал к развитию сельскохозяйственного производства.
Награжден орденом «Знак Почёта», медалями «За трудовую доблесть», «За оборону Ленинграда», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941 – 1945 гг.», ВДНХ СССР.